この問題では、n! + 1が平方数となるnの値を求めることが求められています。つまり、n! + 1が整数の平方になるようなnを見つけることです。ここでは、高校数学の範囲で解法を説明します。
1. 問題の整理
n!はnの階乗を表し、n! = 1 × 2 × 3 × … × nの積です。n! + 1が平方数となるため、n! + 1 = k²（kは整数）となるようなnを求めます。まず、小さいnから順番に確認してみましょう。
2. 小さいnの検証
n = 1の場合：1! + 1 = 1 + 1 = 2。2は平方数ではありません。
n = 2の場合：2! + 1 = 2 + 1 = 3。3は平方数ではありません。
n = 3の場合：3! + 1 = 6 + 1 = 7。7は平方数ではありません。
n = 4の場合：4! + 1 = 24 + 1 = 25。25は5²であり、平方数です。
3. nが大きくなるとどうなるか
nが5以上の場合、n!は急速に大きくなりますが、n! + 1が平方数になる可能性は極めて低いです。例えば、n = 5の場合、5! + 1 = 120 + 1 = 121ですが、121は11²ではなく、平方数にはなりません。このように、n! + 1が平方数になるnは4だけであることがわかります。
4. 結論
したがって、n! + 1が平方数となるnは、n = 4のみです。これ以外のnでは、n! + 1が平方数になることはありません。
まとめ
この問題では、n! + 1が平方数となるnを求めました。検証の結果、n = 4が唯一の解であることがわかりました。このような問題では、実際に小さなnから順に計算していき、次第に大きなnに対するパターンを見つけることが重要です。
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