Res(f,∞)の性質と1位の零点の例について解説

複素関数における残差の計算に関する重要な問題、特に関数f(z)がz=∞で2位以上の零点を持つ場合に、Res(f,∞)が0になる理由と、1位の零点のときにRes(f,∞)が0でない例について解説します。

Res(f,∞)が0である理由

複素関数f(z)がz=∞で2位以上の零点を持つ場合、その関数は無限大での挙動が十分に小さく、残差が0になる理由を数式で示します。まず、複素関数の残差定理によれば、無限大での残差は積分経路の一部として無限大を含む閉曲線積分における残差の合計です。2位以上の零点があると、関数の無限大での挙動が「収束」し、残差が0になります。

1位の零点のときのRes(f,∞)≠0の例

次に、1位の零点の場合を考えましょう。f(z)がz=∞で1位の零点を持つとき、関数の無限大での挙動は収束せず、残差が0ではない例が存在します。具体的には、z=∞で1位の零点を持つ関数として、例えばf(z) = 1/(z-1)のような関数があります。この関数は無限大での残差が0ではなく、計算によってその残差が非ゼロであることがわかります。

残差定理の適用例とその意味

残差定理は、関数が複素平面でどのように振る舞うかを理解するための強力なツールです。特に、関数が無限大での挙動がどのようになるかを知ることで、積分計算を効率的に行うことができます。z=∞での残差の計算方法を理解することで、積分問題に対するより深い洞察を得ることができます。

まとめ

z=∞での残差に関する問題では、関数の零点の位数によって残差の値が異なります。2位以上の零点の場合は残差が0になり、1位の零点の場合は残差が非ゼロとなることが確認できました。これらの理解は複素関数解析における重要な基礎知識です。