√a^2が±aになる理由とは？

数学において、√a^2 = ±a という表現を見たことがあると思います。これはなぜか、そして何が意味されているのかについて詳しく解説します。

平方根とは？

平方根とは、ある数を自乗（2乗）したときに元の数になる数を指します。例えば、√9 = 3 ですが、-3も3を自乗すると9になります。つまり、√a^2 の結果は +a または -a となり得るわけです。

平方根は、a^2 = x の場合、x の平方根は +a または -a になります。なぜなら、(+a)^2 = a^2 および (-a)^2 = a^2 という関係が成立するからです。したがって、√a^2 = ±a という表現が必要になります。

+aだけを取ると、負の数の平方根を無視することになり、実数の範囲では不完全な結果になります。数学的に言うと、平方根は常に正の値を取るわけではなく、負の値も考慮しなければならないからです。

√a^2 = ±a という表現は、正の平方根と負の平方根の両方を意味します。平方根の定義に従い、±aの両方が含まれることで、すべての解をカバーしています。これが数学的に必要な理由です。