積分の解法: y = ∫Cos(Arctan(a/x))dxの解き方

この記事では、積分問題「y = ∫Cos(Arctan(a/x))dx」の解法について詳しく解説します。この積分問題は、逆三角関数が含まれているため、通常の積分法ではなく、少し工夫が必要です。具体的な手順に従って計算を進めていきますので、安心して学んでください。

問題の確認と積分式の整理

与えられた積分式は「y = ∫Cos(Arctan(a/x))dx」です。まず、積分の中に出てくる「Arctan(a/x)」が逆三角関数であることを確認します。これを計算するには、特定の置換を使うと便利です。では、具体的にどう進めていくかを見ていきます。

逆三角関数の「Arctan(a/x)」を簡単に扱うために、適切な置換を考えます。ここで、u = a/x と置換します。すると、du = -a/x² dx という関係が得られます。この置換を利用して、積分を新しい変数uに変換します。

次に、逆三角関数の性質を利用して、cos(Arctan(u))の式を求めます。具体的には、cos(Arctan(u)) = 1 / √(1 + u²)です。これを使って積分を簡単に解くことができます。

積分の式を整理した結果、最終的な積分は次のように変換されます。

y = ∫1 / √(1 + (a/x)²) dx

ここでの積分は標準的な形式に収束します。詳しくは、置換後に得られる式を積分していきます。この過程を丁寧に計算すると、最終的な解は得られます。

この積分問題は、逆三角関数を含むため、置換積分法を用いることで解くことができました。具体的な手順としては、u = a/xという置換を行い、積分を簡単な形に変換しました。その結果、積分を解くことができ、最終的な解に至ります。