正則関数の有界性と領域の拡張について：f(z)の正則性

複素関数解析における重要なテーマの一つは、関数の正則性とその領域に関する性質です。この記事では、f(z)が領域0<|z-a|

1. 問題の背景と前提

問題では、複素関数f(z)が領域0<|z-a|

この状態から、f(z)が|z-a|

2. リーマンの定理を用いた証明

まず、f(z)が正則であり、有界であるという前提から、リーマンの定理（モービウス変換や有界正則関数の定理）を使って証明を進めます。

リーマンの定理によると、有界な正則関数は、その定義域内で最大値を取らないという特徴を持っています。このため、f(z)が0<|z-a|

3. 有界性の重要性

f(z)が有界であることは、f(z)の挙動が無限に発散しないことを意味します。この有界性が重要な理由は、無限大に向かう挙動がないため、関数が領域内で「安定」しているということです。

有界性を持つ正則関数は、その領域内で解析的に拡張できるため、f(z)が|z-a|

4. 結論：|z-a|

f(z)が0<|z-a|

まとめ

f(z)が0<|z-a|