a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)の因数分解の考え方と実例解説

数学の因数分解は、式を簡潔にしたり、計算を容易にするために非常に重要です。ここでは、「a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)」の因数分解に関する解説を行います。この式を因数分解する際に、なぜaでくくるべきかという疑問を解消し、実際の解法を学びます。

1. まずは式を整理してみよう

与えられた式「a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)」を見ると、a、b、cの違った項が掛け算されていますが、これを簡単にするためにはどこでくくればよいのかを見極める必要があります。まず、各項を分けてみましょう。

この式の特徴は、各項の中で同じパターンを見つけることです。a²(b-c)、b²(c-a)、c²(a-b)のそれぞれを見てみると、最初の項にaが含まれていることに気づきます。同様に、bやcも同じように処理できるため、a、b、cそれぞれでくくることが可能です。

a²(b-c)という部分でaをくくり出すと、式はa(b-c)の形になります。同様に、b²(c-a)の部分でもbをくくり出すと、b(c-a)となり、c²(a-b)でもcをくくるとc(a-b)となります。

これにより、式は次のように整理できます。

a(b-c) + b(c-a) + c(a-b)

「aでくくる」と言った理由は、式の各項に共通する形が現れるからです。このような共通部分を見つけることで、式を簡単にし、後で計算する際の効率も向上します。また、他の方法でくくると、同じような形式にはなりません。

ここで、実際にこの式を因数分解してみましょう。最初に、式を以下のように表現します。

a(b-c) + b(c-a) + c(a-b)

この式をよく見てみると、実は最終的に因数分解結果が次のようになることがわかります。

この式の因数分解を理解するためには、まず共通部分を見つけて、どこでくくるべきかを判断することが大切です。最終的には、各項に共通する要素を見つけることで、式を簡単にし、計算を効率的に行えるようになります。