この問題では、与えられた7個の数字から異なる3個を選んで作った3桁の整数の順番を求めるというものです。具体的には、作れる3桁の整数を小さい順に並べたとき、70番目の数と456の順位を求める方法を解説します。
問題の整理と理解
問題は、数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の中から異なる3個を使って3桁の整数を作り、その整数を小さい順に並べたときの順位を求めるというものです。まず、与えられた数字の中から3つ選び、3桁の数字を作る方法を考えます。
数字の順列を求めるためには、まず0は先頭に来ないという条件が必要です。したがって、最初に選べる数字は1から6の間のいずれかとなり、その後に残りの数字から選んでいきます。
総数の計算
まず、0から6の数字のうち、異なる3つの数字を選ぶ方法は順列の問題です。最初に6個の数字から1つを選び（6通り）、次に残りの5個から1つを選び（5通り）、最後に残りの4個から1つを選びます（4通り）。したがって、作れる3桁の整数の総数は。
6 × 5 × 4 = 120通りです。
70番目の数を求める方法
小さい順に並べると、最初に1桁目（百の位）を決めることになります。1から6のいずれかが最初の桁となり、各桁の後の数字は順番に選んでいきます。70番目の数を求めるためには、最初の桁を1, 2, 3, 4, 5, 6で順番に固定し、その後の数字の順列を考えます。
まず、最初の桁が1の場合、残りの数字（0, 2, 3, 4, 5, 6）から2桁を選びます。これでできる数字は6 × 5 = 30通りです。次に、最初の桁が2の場合、残りの数字（0, 1, 3, 4, 5, 6）から2桁を選びますが、これでできる数字も30通りです。
次に、最初の桁が3の場合、残りの数字（0, 1, 2, 4, 5, 6）から2桁を選ぶと、これも30通りです。最初の桁が3のときに、70番目の数は30 + 30 + 10（残り）であるため、70番目の数は3, 4, 6という順番から、364が正解となります。
456は何番目の数か
456が何番目の数かを求めるためには、同じように順番を考えます。最初の桁が4の場合、残りの数字（0, 1, 2, 3, 5, 6）から2桁を選ぶ順列は30通りです。次に、最初の桁が5の場合、残りの数字（0, 1, 2, 3, 4, 6）から2桁を選びますが、これも30通りです。
456は最初の桁が4、2桁目が5で、残りの数字から6を選んでいるため、456は61番目となります。
まとめ
この問題では、異なる3つの数字を使って作れる3桁の整数を小さい順に並べ、その順位を求める方法を解説しました。70番目の数は364で、456は61番目でした。順列を活用した問題であり、順番に数字を並べることで順位を求める方法がわかりました。
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