この記事では、与えられた二次関数y=x²-4ax+4a²-3のグラフの頂点が、aの値によらず常に同じ直線上にあることを示し、その直線の方程式を求める方法について解説します。
1. 与えられた二次関数の確認
まずは、与えられた二次関数y=x²-4ax+4a²-3を確認しましょう。この式は、aというパラメータに依存する形になっていますが、xに関しては二次式の形をしています。
この二次関数のグラフは放物線であり、aの値により放物線の位置が変化します。しかし、問題にあるように、この放物線の頂点がaの値によらず、常にある直線上にあるとされています。
2. 頂点の公式を使って頂点を求める
二次関数y=ax²+bx+cの頂点のx座標は、x=-b/(2a)で求めることができます。ここでは、y=x²-4ax+4a²-3という形なので、まずb=-4a、a=1と見なすことができます。
したがって、x座標は次のように求められます。
x = -(-4a) / (2×1) = 2a
よって、x座標は2aです。
3. y座標の求め方
次に、x=2aのときのy座標を求めます。このx座標を二次関数に代入してyを求めます。
y = (2a)² - 4a(2a) + 4a² - 3
これを計算すると。
y = 4a² - 8a² + 4a² - 3 = 0a² - 3 = -3
したがって、y座標は常に-3です。
4. 頂点がある直線の方程式
頂点のx座標は2a、y座標は-3であることが分かりました。これを基に、頂点の位置がaに依存せず、常に同じ直線上にあるということが分かります。
y座標が常に-3であり、x座標が2aで変化するため、この頂点はx=2aの直線上に存在します。よって、この直線の方程式は次のようになります。
y = -3
5. まとめ
与えられた二次関数y=x²-4ax+4a²-3の頂点は、x=2aの直線上にあり、そのy座標は常に-3であることが分かりました。このことから、頂点がaに依存せず、y=-3という水平直線上に位置することが確認できました。
このように、二次関数の頂点がどのような直線上にあるかを求める方法は、まず頂点のx座標とy座標を求め、さらにそれらの値から直線の方程式を導き出すことができます。
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