微分方程式に関する問題で、特に力学的な系の解法はよく出題されます。この問題では、速度v(t)に関する微分方程式 m(dv(t)/dt)=mg-k(v(t)^2) が与えられており、一般解を求めることが求められています。さらに、u(t)=[y(t)]^-1 という式や、v(t)=√(mg/k)+u(t) が与えられています。本記事では、これらの式を利用して一般解を求める方法について解説します。
問題設定の確認
与えられた微分方程式 m(dv(t)/dt)=mg-k(v(t)^2) は、物体が空気抵抗などの影響を受けて運動している様子を表しています。ここで、m は物体の質量、g は重力加速度、k は空気抵抗係数を意味します。この式を解くためには、変数分離法や適切な置換を使って解いていきます。
式の変形と置換
まず、与えられた v(t) = √(mg/k) + u(t) を用いて、v(t) を別の形で表現します。この式を微分方程式に代入し、v(t) の関数を使って m(dv(t)/dt) の計算を進めます。また、u(t)=[y(t)]^-1 の式を利用して、さらに簡単化を行うことができます。この過程で得られる置換を順を追って解説します。
解法のステップ
解法のステップは以下の通りです。まず、v(t) を√(mg/k) + u(t) と表現し、m(dv(t)/dt)=mg-k(v(t)^2) に代入します。次に、変数分離法を用いて、積分可能な形に変形します。このようにして得られる関数を積分し、任意定数C0を求めることができます。これにより、v(t)の一般解を求めることができます。
一般解の導出と式の最終形
最終的に、v(t) の一般解は、t, m, k, g, そして任意定数C0を用いて表現されます。この解法の過程で重要なのは、変数分離法の適用と、与えられたu(t)=[y(t)]^-1の式を適切に扱うことです。一般解を求めることで、このタイプの微分方程式の解法の理解が深まります。
まとめ
m(dv(t)/dt)=mg-k(v(t)^2) という微分方程式の一般解を求める過程では、与えられた関数や式をうまく利用することが鍵です。変数分離法や置換を適用し、最終的に任意定数C0を含む解を導出することで、この問題を解決できます。微分方程式を解く際には、各ステップを丁寧に追っていくことが重要です。
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