2変数関数の累次積分とその証明について

この問題では、2変数関数の累次積分の公式を証明する方法について解説します。具体的には、与えられた2変数関数f(x, y)について、積分範囲を適切に分割し、累次積分の等式を証明します。

累次積分の定義と条件

問題の設定は、関数f: [a,b] × [c,d] → Rが可積分であり、任意のxに対してʃ[c,d] f(x, y)dyが存在するというものです。このとき、累次積分の順番を変更する公式を示すことが求められています。

累次積分の公式は、次の形で表されます。

ʃ[a,b]×[c,d] f(x,y) = ʃ[a,b] (ʃ[c,d] f(x,y)dy) dx

証明のために、まず積分範囲を分割し、ε>0を任意に取ります。そして、δを定義し、適切な分割を選んでいきます。積分を適切に分けて、最終的にその差がε未満であることを示します。

問題文で与えられた方法を用いて、各分割の誤差が十分に小さくなるような選択を行います。その後、累次積分の公式が成り立つことを証明します。

分割の選び方により、誤差を小さくする方法についても説明しています。分割を細かくすることで、誤差がε未満に収束し、最終的に累次積分の等式が成立することがわかります。

また、積分順序を変更することによって、計算が簡単になる場合があります。これにより、問題の解法がシンプルになり、計算ミスを防ぐことができます。

この問題では、2変数関数の累次積分の公式を証明しました。証明においては、積分範囲の分割と誤差評価が重要な役割を果たします。最終的に、累次積分の等式が成り立つことが確認できました。