微分方程式の級数展開による解法：x=0の周りでの解法

微分方程式の解法として、級数展開は非常に有効な手法です。特に、x=0の周りで解を求める際に用いられます。今回は、以下の微分方程式について、級数展開を使って解法を進めていきます。

微分方程式の問題設定

与えられた微分方程式は、次の形をしています：
（x²−x）y” + (−x+2)y’ + y = 0

この微分方程式を解くために、まずx=0の周りでの級数展開を考えます。級数展開とは、解を多項式の無限級数で表す方法です。

まず、y(x)を次のように表現します。
y(x) = Σaₙxⁿ（n=0から∞）
ここで、aₙは解の係数で、これを求めることが目標です。微分方程式にこの式を代入して、係数の関係式を導出します。

y'(x) = Σn aₙxⁿ⁻¹
y”(x) = Σn(n−1) aₙxⁿ⁻²

次に、この級数展開を微分方程式に代入します。各項を展開し、xのべき乗ごとに整理して、係数aₙに関する再帰的な関係式を求めます。この手法では、各項の係数が逐次的に決まるため、無限級数の収束が確認できれば、解を得ることができます。

代入の結果として、各項に対応する式を整理していくことで、特定のnに関してaₙを求めることができ、級数の解が得られます。

最終的に、求められた級数の解がx=0の周りでの近似解となります。この解は、無限級数として表示され、計算により任意の精度で近似を得ることが可能です。級数展開を使用することで、非線形の微分方程式に対しても解析的にアプローチすることができます。

級数展開を用いることで、微分方程式の解法を進めることができました。特に、x=0の近くで解を求める際に有効であり、近似解を得る手法としても広く利用されています。この方法は、非線形の微分方程式においても有用で、解析的な解法を提供するため、計算技術として重要な位置を占めています。