整数解を求める！75x + 64y = 1 の解法

「75x + 64y = 1」の方程式の整数解についての問題を解説します。特に、式の解法における変数の取り方や、別の形で表現できるかについても説明していきます。

連立方程式の解法

まず、与えられた方程式「75x + 64y = 1」の解を求めるために、拡張ユークリッドの互除法を使って解くことができます。最初にこの方程式が整数解を持つことを確認するために、75と64の最大公約数（GCD）を求めます。GCD(75, 64) = 1なので、この方程式は解を持つことがわかります。

解の導出方法

次に、GCDが1であることを示すために、ユークリッドの互除法を使いながら、具体的に解を求めます。この結果、解は x = 64k – 29, y = -75k + 34 という形で表すことができます。この解は、kを任意の整数としたときに、すべての整数解を表します。

変数の変換について

質問で示された「x = -64k + 29, y = 75k + 34」という形式も解として成り立ちます。なぜなら、式の左右が単純に符号が反転したものだからです。式が一致するため、どちらの表現でも正解と言えます。変数の符号を変更しても、解自体は同じです。

まとめ

「75x + 64y = 1」の整数解は、x = 64k – 29, y = -75k + 34、またはx = -64k + 29, y = 75k + 34という形で表せます。どちらの表現も正解ですので、問題で求められている通りの形で解を示すことができます。