不等式の解法で定数aの範囲を求める問題は、数学的な手法を使って条件を満たす範囲を導き出すものです。特に、xの最大の整数値が与えられた場合、その値を使って定数aの範囲を求める問題では、途中式や条件をしっかりと理解することが重要です。この記事では、与えられた不等式の解法を詳しく解説し、その途中式における等号の使用についても説明します。
不等式の設定と解法の流れ
問題にある不等式「3(x – 1) < 2(x + a)」を解くためには、まず両辺の展開を行います。左辺と右辺を展開すると、以下のようになります。
3(x – 1) = 3x – 3, 2(x + a) = 2x + 2a
これを元に不等式を整理すると、以下の式が得られます。
3x – 3 < 2x + 2a
次に、この不等式を解くために、xに関する項を一方に集め、定数項をもう一方に集めます。すると、以下の式が得られます。
3x – 2x < 2a + 3
x < 2a + 3
最大の整数xの値を使った条件の導出
問題では、「最大の整数xがx = 3である」と指定されています。この条件を考慮すると、xが3のとき、2a + 3が3未満である必要があります。
したがって、次の不等式が成り立ちます。
x < 2a + 3, 3 < 2a + 3
これを解くと、2a > 0となり、a > 0が得られます。
解答へのアプローチ：等号が含まれる理由
途中式で「2a + 3 ≦ 4」と書かれた部分についての疑問があります。この等号が含まれる理由は、x = 3が最大の整数であるという条件を満たすためです。
具体的には、x = 3が成立するためには、aの値が「2a + 3 = 4」であることが必要です。この場合、aの最大値は1/2となり、x = 3が最大の整数解となります。
定数aの範囲の導出
これまでの計算から、aが0より大きく、1/2以下であることがわかります。したがって、定数aの範囲は次のようになります。
0 < a ≦ 1/2
この範囲が、与えられた条件を満たすaの値となります。
まとめ：不等式の解法と定数aの範囲
不等式「3(x – 1) < 2(x + a)」を解く過程で、xの最大整数値を使って定数aの範囲を求める方法を解説しました。xの最大整数値がx = 3であるという条件から、aの範囲を導き出すことができ、最終的に「0 < a ≦ 1/2」という範囲を得ることができました。
また、途中式で「2a + 3 ≦ 4」と記載されている理由は、x = 3が最大の整数であるという条件を満たすために必要な式変形であり、この点を理解することが重要です。数学的な解法においては、条件を適切に使いながら解を導くことが大切です。
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