数学の問題で数列の和を求める際、しばしば等比数列の公式を使用しますが、なぜそのように扱うのかが分からないこともあります。この記事では、与えられた数列がなぜ等比数列として扱われるのか、またその求め方について詳しく解説します。
1. 与えられた数列の確認
質問にある数列は次のように与えられています：
1, 1+2, 1+2+2², …
これを詳しく見てみると、各項が累積的に増加しており、特に「1+2²」といった形で2の累乗が関わっています。この点に注目することが重要です。
この数列は、累積された和が次々と増加する形をしており、特に「1+2+2²」の項目は、計算の流れにおいて積み上げられていく様子が見られます。
2. 等比数列とは
等比数列は、各項が前の項に一定の比率（公比）を掛けた形で構成される数列です。具体的には、数列の各項が次のように表されます：
a, a×r, a×r², a×r³, …
ここで、aは初項、rは公比です。
例えば、数列「1, 2, 4, 8, …」は、初項が1で、公比が2の等比数列です。
3. どうしてこの数列が等比数列として扱えるのか
質問の数列では、次のように観察できます：
1 (初項), 1+2 (次の項), 1+2+2² (次の項)。これを分解すると、最初の項から次の項に進むためには、2を掛ける形で増加していく様子が見て取れます。実際に、各項に2の累乗（2^0, 2^1, 2^2）が使われており、これは等比数列の公比が2に相当します。
したがって、この数列は累積的な足し算を行っているにも関わらず、実際には等比数列として扱うことができます。なぜなら、各項が2の累乗に基づいて増加しているからです。
4. 数列の和を求める方法
この数列の初項から第n項までの和を求めるには、等比数列の和の公式を使います。等比数列の和の公式は次の通りです。
Sₙ = a × (1 – rⁿ) / (1 – r) （r ≠ 1の場合）
ここで、Sₙはn項までの和、aは初項、rは公比です。
この公式を使って、与えられた数列の和を計算することができます。具体的な計算例を使って解説すると、初項1、公比2の数列の和は、公式に代入して計算することができます。
まとめ
質問の数列は、累積的に増加しているように見えますが、実際には等比数列として扱うことができます。このような数列の和を求める際には、等比数列の和の公式を使うと効率的に計算できます。理解を深めるために、実際に数列の項を計算してみることが有効です。
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