極方程式の変換と計算方法について

極座標に関する問題では、式の変換や計算がよく問われます。特に、r²の式を異なる形に変換する際には、三角関数の性質を理解しておくことが重要です。質問者が示した問題について、どのようにしてr²(4−3cos²θ)とr²(1+3sin²θ)が同じ式になるのかを解説します。

1. 問題の式を理解する

まず、与えられた式r²(4−3cos²θ) = 3とr²(1+3sin²θ) = 3を比較してみましょう。ここで重要なのは、cos²θとsin²θの関係です。三角関数の基本的な恒等式として、sin²θ + cos²θ = 1が成り立つことを利用します。

r²(4−3cos²θ)の式をr²(1+3sin²θ)の形に変換するためには、cos²θをsin²θを使って表現します。cos²θ = 1 – sin²θを代入すると、式は以下のように変換できます。

r²(4−3(1−sin²θ)) = 3

これを整理すると、r²(1+3sin²θ) = 3と一致することがわかります。

式の変換には、三角関数の恒等式を使うことが鍵です。特に、cos²θとsin²θを相互に変換する際には、注意深く計算を進める必要があります。また、このような問題では、変換を繰り返していくつかの式に分けて計算することで、より簡単に理解できることが多いです。

質問者が示した式は、基本的な三角関数の恒等式を利用することで変換可能であることがわかります。重要なのは、与えられた式をどのように変換するかという点と、その過程で三角関数の性質を適切に使うことです。この知識を使って、他の極方程式の問題にも応用できるようになるでしょう。