今回は、複素数列の極限について解説します。具体的な問題として、「zn = n / (2 + i^n)」という式の極限を求める方法を考えていきます。nが∞に近づくとき、この式の極限がどうなるかを理解することがポイントです。
1. 複素数列の基本と問題設定
まず、与えられた複素数列を確認しましょう。
zn = n / (2 + i^n)
ここで、iは虚数単位であり、i^nはnの値によって変動します。iの冪は周期的に変化するため、この式の極限を求めるには、i^nの振る舞いに注目することが重要です。
2. i^nの周期性
iの冪は周期的に変化します。具体的には、次のように変化します。
- i^1 = i
- i^2 = -1
- i^3 = -i
- i^4 = 1
このように、iの冪は4周期で繰り返します。この性質を利用して、nが∞に近づくときのi^nの挙動を理解することができます。
3. 極限を求めるアプローチ
nが∞に近づくとき、i^nの値は周期的に変化しますが、分母の「2 + i^n」の影響を受けます。nが無限大になると、分母は2に近づくため、全体の式は次第に安定していきます。
このため、分母のi^nが周期的に変化することを考慮しながら、nが∞に近づく際の挙動を求めます。
4. 結論と解説
最終的に、nが∞に近づくとき、この複素数列の極限は無限大に発散します。これは、分母が2に近づいていく一方で、分子のnが無限大に増加するためです。
つまり、式が安定した値に収束することはなく、極限は発散します。このことを、複素数の極限の求め方における基本的な理解として覚えておきましょう。
5. まとめ
今回の問題では、i^nの周期性を活用し、複素数列の極限を求めました。nが∞に近づくときの挙動を理解することは、複素数の極限を求める上で重要なステップです。最後に、このような問題に取り組む際には、周期的な性質を見抜くことがカギとなります。
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