f(x) = ∫₀ˣ sin(1/t) dt が (-1,1) 上で微分可能かどうか

関数 f(x) = ∫₀ˣ sin(1/t) dt が区間 (-1, 1) 上で微分可能かどうかを考える問題について、どのように解くべきかについて解説します。このような積分が含まれる問題では、特に t = 0 付近の挙動に注目することが重要です。

関数 f(x) の定義

まず、与えられた関数 f(x) を定義してみましょう。

f(x) = ∫₀ˣ sin(1/t) dt

ここで、t = 0 のとき sin(1/t) が 0 になると記載されていますが、この定義が問題の解法に重要な役割を果たします。この関数は、x の値が 0 に近づくときに挙動を確認する必要があります。

微分可能性の確認

関数 f(x) が微分可能かどうかを確認するためには、f(x) の導関数を求め、導関数が定義されるかどうかをチェックする必要があります。微分可能であるためには、積分区間での連続性や積分される関数の挙動が重要になります。

f(x) の微分を求めるには、積分の上限が x であるため、微分可能性の定義に基づいて、連続性と滑らかさが確保されているかを検討します。

t = 0 における挙動の確認

t = 0 の付近では sin(1/t) の振動が非常に激しくなるため、関数 sin(1/t) の扱いには注意が必要です。t = 0 において sin(1/t) が 0 となることが与えられているので、この振動がどのように積分に影響するかを分析します。

t = 0 付近での積分が収束するかどうか、またその結果として微分可能かを判断するためには、積分される関数が十分に「滑らか」であることが重要です。この点で、sin(1/t) の振動が積分可能かどうか、つまり収束性を確認する必要があります。

収束性と微分可能性の判断

積分の収束性が確認できれば、関数 f(x) は微分可能であると結論できますが、t = 0 付近の挙動が微分可能性にどう影響するかは慎重に判断する必要があります。

この問題では、t = 0 における特異性を避けるために、適切な収束条件や連続性の検証が必要です。詳細に計算することで、関数が定義通りに微分可能であるかを判断できます。

まとめ

関数 f(x) = ∫₀ˣ sin(1/t) dt が (-1, 1) 上で微分可能かどうかを判断するには、特に t = 0 付近の挙動に注目する必要があります。sin(1/t) の振動が積分に与える影響を考慮し、収束性と連続性を確認することが解答への重要なステップです。この問題を解くには、積分の収束性や関数の特異点の扱いに注意を払いながら進めることが必要です。