方程式 x^3 – 4x^2 + 6x – 4 = 0 の解法について解説します。この方程式の答えは、x = 2 と x = 1 ± i という複素数解になります。具体的な解法手順をわかりやすく説明しますので、ぜひ参考にしてください。
1. 方程式の因数分解の試み
まず、x^3 – 4x^2 + 6x – 4 = 0 のような3次方程式を解くためには、まず因数分解を試みます。一般的に、3次方程式の場合、まずは整数解が存在するかどうかを確認します。
試しに x = 2 を代入してみます。x = 2 を代入すると、(2)^3 – 4(2)^2 + 6(2) – 4 = 0 となり、0になります。したがって、x = 2 はこの方程式の解の一つであることがわかります。
2. x = 2 を使って因数分解
次に、x = 2 が解であることがわかったので、この解を使って多項式の因数分解を行います。x – 2 はこの方程式の因数の一つとなります。残りの式を求めるためには、(x^3 – 4x^2 + 6x – 4) ÷ (x – 2) を行い、商を求めます。
商を求めると、x^2 – 2x + 2 という2次式が得られます。したがって、元の式は次のように因数分解されます。
(x – 2)(x^2 – 2x + 2) = 0
3. 残りの2次方程式を解く
次に、2次方程式 x^2 – 2x + 2 = 0 を解きます。この方程式を解くためには、解の公式を使用します。
解の公式に代入すると、x = [2 ± √(2^2 – 4(1)(2))] / 2(1) となります。ここで、判別式の中身を計算すると、2^2 – 4(1)(2) = 4 – 8 = -4 となり、負の値になります。したがって、この方程式は実数解を持たず、複素数解を持ちます。
複素数解は、x = 1 ± i となります。これにより、方程式の解は次の3つになります。
x = 2, x = 1 + i, x = 1 – i
まとめ
方程式 x^3 – 4x^2 + 6x – 4 = 0 の解法は、まず試しに整数解を求め、その後因数分解を行い、残りの2次方程式を解くことで、最終的に解は x = 2 と x = 1 ± i となります。このように、3次方程式の解法は因数分解と解の公式を適切に使い分けることがポイントです。
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