cos(90° - θ) = sin(θ) の理由: 三角関数の関係を理解する

「cos(90° – θ) = sin(θ)」という三角関数の関係は、直感的に理解するのが少し難しいかもしれませんが、実は簡単に説明することができます。この式が成立する理由について、三角関数の性質と直角三角形を用いて解説します。

三角関数の基本的な性質

三角関数は、直角三角形の辺の長さと角度の関係を表す数学的な関数です。最も基本的な三角関数には、サイン(sin)、コサイン(cos)、タンジェント(tan)があります。

直角三角形において、角度θに対して、サイン(sin)は「対辺／斜辺」、コサイン(cos)は「隣辺／斜辺」と定義されます。これらの関数を使って、三角形の角度に対する辺の長さの比を計算することができます。

「cos(90° – θ) = sin(θ)」が成立する理由は、直角三角形の辺の比に関連しています。この式を理解するために、まず直角三角形の角度に注目します。

直角三角形の角度が90° – θのとき、その角度と隣接する角度θの関係を考えます。90° – θの角度の隣辺と対辺を、元のθの角度の対辺と隣辺と交換した形になることが分かります。つまり、cos(90° – θ)は元の角度θにおけるsin(θ)に等しくなるのです。

直感的に理解するためには、単位円（半径1の円）を使った説明が有効です。単位円上で角度θを測ると、その点のx座標はcos(θ)、y座標はsin(θ)です。

もし、90° – θの角度を考えると、x座標とy座標が入れ替わり、cos(90° – θ)はsin(θ)に対応します。このため、cos(90° – θ) = sin(θ) が成立することが視覚的に理解できます。

「cos(90° – θ) = sin(θ)」という関係は、三角関数の定義と直角三角形の辺の比に基づいています。特に単位円を用いると、この関係が直感的に理解できるようになります。この式は三角関数の基本的な性質の一部であり、三角関数の計算において非常に役立つ知識です。

数学的にシンプルでありながら、三角関数の深い理解に繋がる重要な関係です。