微分方程式 (y')^2 = y^2 の解き方：ステップバイステップガイド

微分方程式 (y’)^2 = y^2 の解法について、どのように解いていくかを段階的に説明します。この方程式は一見複雑に見えますが、適切な手順を踏めば解くことができます。今回はその過程を詳しく解説します。

1. 方程式を整理する

まず最初に、与えられた微分方程式 (y’)^2 = y^2 を簡単に整理します。この方程式は次のように変形できます。

(y’)^2 = y^2

両辺に平方根を取ると。

y’ = ±y

ここで、y’ は y の微分（dy/dx）を意味しています。

y’ = ±y の式は、2つのケースに分けて考えることができます。具体的には、y’ = y と y’ = -y の2つの異なる微分方程式に分けて解きます。

y’ = y は、指数関数的な解を持つ線形微分方程式です。この方程式を解くためには、次のように分離変数法を使用します。

dy/y = dx

両辺を積分すると。

ln|y| = x + C

ここで C は積分定数です。よって、y = Ce^x という解が得られます。

次に、y’ = -y の場合も分離変数法を使用します。

dy/-y = dx

両辺を積分すると。

-ln|y| = x + C

したがって、y = De^(-x) という解が得られます。

したがって、元の微分方程式 (y’)^2 = y^2 の解は、次の2つの関数に分かれます。

y = Ce^x または y = De^(-x)

ここで C と D は任意の定数です。これらの解は、初期条件や境界条件に応じて決定されます。

微分方程式 (y’)^2 = y^2 の解法は、まず平方根を取ることで y’ = ±y に変形し、次に2つのケース（y’ = y と y’ = -y）に分けて解く方法です。これにより、指数関数の形で解を得ることができ、最終的な解は y = Ce^x または y = De^(-x) となります。