直角三角形における内積とピタゴラスの定理の関係を理解することは、高校数学において非常に重要なステップです。特に、内積を使った計算で「|a-b|² = |a|² + |b|²」という式をどのように整理するかについて解説します。この記事では、初心者向けに詳細な手順を説明していきます。
ピタゴラスの定理と内積
ピタゴラスの定理は、直角三角形において、直角を挟む2辺の長さがa, b、斜辺の長さがcであるとき、次の式が成り立つことを示しています。
a² + b² = c²
内積を使うと、直角三角形の辺とその間の角度を関係づけることができます。内積は、ベクトルの長さとその間の角度に関連しています。これを踏まえて、|a-b|²の式を見ていきます。
|a-b|²の展開
まず、|a-b|²を展開してみましょう。この式は次のように計算できます。
|a – b|² = (a – b)・(a – b)
これを展開すると。
(a – b)・(a – b) = a・a – 2a・b + b・b
よって、|a-b|²は次のようになります。
|a-b|² = |a|² – 2a・b + |b|²
ここで、a・bはベクトルaとbの内積を示しています。この式が問題の出発点です。
内積がゼロになる条件
次に、|a-b|²がa・bと関係することを確認しましょう。問題では「a₁b₁ + a₂b₂ = 0」とあります。これは、ベクトルaとベクトルbの内積がゼロである場合を意味しています。内積がゼロであるということは、ベクトルaとbが直交していることを示しています。
したがって、内積a・b = 0であるならば、|a-b|²は次のように簡単に表すことができます。
|a-b|² = |a|² + |b|²
「これを整理すると」のステップ
「これを整理すると」とは、上記の式を簡単にして、最終的にa・bがゼロであることを示す作業です。まず、|a-b|²の式を展開し、内積がゼロであることを確認すると、次のように式が整理できます。
|a-b|² = |a|² + |b|²
この式が成り立つためには、a・b = 0である必要があることがわかります。
まとめ
この問題の解法では、直角三角形におけるピタゴラスの定理と内積を使い、|a-b|²の式を展開して、最終的に内積がゼロであることを証明しました。内積がゼロであるということは、ベクトルが直交していることを意味し、これにより式が簡単化されます。このように、内積を使った問題の解法では、式の展開と整理をしっかりと行うことが重要です。
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