連続する偶数の和を2乗して4を引いた数と4倍した数の等式の証明

連続する偶数について、和を2乗し、4を引いた結果がその偶数に4を掛けた数と等しいことを証明する問題です。この問題を解くために、連続する偶数の性質と式の展開を利用して証明を行います。

連続する偶数とは

まず、連続する偶数について理解しましょう。偶数は2で割り切れる整数であり、連続する偶数は1つの偶数の次に続く偶数を指します。

例えば、2と4、6と8、10と12などが連続する偶数です。ここでは、xとx+2の2つの連続する偶数を考えます。xは偶数であり、x+2もその次の偶数です。

問題の内容を数式で表すと次のようになります。

「xとx+2の和を2乗して4を引いた数は、この2つの数に4を掛けた数に等しい」となります。

これを数式にすると次のようになります。

(x + (x + 2))² – 4 = 4 × x × (x + 2)

この式が成り立つことを証明していきます。

まず、左辺の式 (x + (x + 2))² – 4 を展開します。

(x + (x + 2)) = 2x + 2

(2x + 2)² – 4 = 4x² + 8x + 4 – 4 = 4x² + 8x

次に、右辺の式 4 × x × (x + 2) を展開します。

4 × x × (x + 2) = 4x² + 8x

左辺と右辺が一致することが分かります。すなわち、次のように成り立ちます。

4x² + 8x = 4x² + 8x

左辺と右辺が同じであることが確認できましたので、与えられた式は正しいことが証明されました。つまり、連続する偶数の和を2乗して4を引いた数は、その偶数に4を掛けた数と等しいという結論になります。

この問題を通じて、連続する偶数に関する式の展開を使った証明方法を学びました。与えられた式が正しいことを確認するためには、式を展開して整理し、左辺と右辺が一致することを示すことが重要です。このような数学的な証明の方法は、他の問題にも応用できる基本的な手法です。