「二次関数のグラフが次の３点を通るとき、その二次関数を求めよ」という問題を解説します。与えられた点は (0,3), (1,0), (2,1) です。このような問題では、二次関数の一般的な形を使って解くことができます。今回は、二次関数の形を a, b, c のパラメータを使って求めます。
1. 二次関数の一般的な形を使う
二次関数の一般的な形は、次のように表されます。
f(x) = ax² + bx + c
ここで、a, b, c は定数です。この式に、与えられた3つの点を代入して、a, b, c を求める方法を紹介します。
2. 点を代入して方程式を立てる
与えられた点 (0, 3), (1, 0), (2, 1) を代入します。
- (0, 3) → 3 = a(0)² + b(0) + c → c = 3
- (1, 0) → 0 = a(1)² + b(1) + c → a + b + 3 = 0
- (2, 1) → 1 = a(2)² + b(2) + c → 4a + 2b + 3 = 1
これらの3つの式を使って、a, b, c を求めることができます。
3. 連立方程式を解く
上記の式を整理すると、次のような連立方程式が得られます。
- a + b + 3 = 0 → a + b = -3
- 4a + 2b + 3 = 1 → 4a + 2b = -2
次に、この連立方程式を解いていきます。
4. 解法
まず、a + b = -3 の式から b = -3 – a とおき、これを 4a + 2b = -2 に代入します。
4a + 2(-3 – a) = -2
4a – 6 – 2a = -2
2a = 4
a = 2
次に、a = 2 を a + b = -3 に代入して b を求めます。
2 + b = -3 → b = -5
したがって、a = 2, b = -5, c = 3 です。
5. 最終的な二次関数
これらの値を二次関数の式に代入すると、最終的な二次関数は次のようになります。
f(x) = 2x² – 5x + 3
6. まとめ
「二次関数のグラフが次の３点を通るとき、その二次関数を求めよ」という問題は、与えられた点を使って連立方程式を解くことで解決できます。今回の場合、(0,3), (1,0), (2,1) を通る二次関数は f(x) = 2x² – 5x + 3 です。この方法を使うことで、どんな二次関数でも求めることができます。
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