関数 y = xsin(1/x) は、x≠0 の場合には周期的に振動する関数で、x = 0 の場合には y = 0 に収束することがわかります。しかし、この関数が [0, 1] 上で有界変動（bounded variation）かどうかを確認するためには、いくつかの重要なポイントを押さえる必要があります。
有界変動とは？
有界変動とは、ある区間での関数の変動量が上限を持つことを意味します。具体的には、関数の積分可能性に関わる概念で、無限大に変動するような関数は有界変動ではないとされます。
関数 y = xsin(1/x) の振る舞い
この関数は x = 0 では定義されていませんが、x ≠ 0 の範囲では、1/x の周期的な性質から振動します。この振動は x が小さくなるにつれて高頻度で発生しますが、その振幅は x に比例して小さくなります。
有界変動の判定方法
有界変動を判定するためには、関数の変動の積分が有限であることが必要です。y = xsin(1/x) の場合、振動の周波数が増す一方で、振幅が小さくなるため、[0,1] 上で積分しても無限大に発散することはありません。このため、y = xsin(1/x) は有界変動といえます。
まとめ
y = xsin(1/x) は [0, 1] の区間において有界変動の条件を満たします。この関数は振幅が小さくなるため、無限大に変動することなく、変動量が制限されることが確認できます。これにより、有界変動に該当することがわかります。
コメント