高校数学でよく登場する「x^3 + y^3」の因数分解。一般的な式変形では、対照式を利用して問題を解決しますが、その形や覚え方に悩んでいる方も多いのではないでしょうか？この記事では、x^3 + y^3 を効率よく因数分解するための方法を、わかりやすい形で解説します。
x^3 + y^3 の基本的な因数分解の方法
x^3 + y^3 の因数分解は、基本的に次のように表すことができます。
x^3 + y^3 = (x + y)((x + y)^2 – 3xy)
この式を覚えておくことが大切ですが、どのように導き出されるのかを理解することも重要です。この因数分解の形は、「和の立方」の公式に基づいています。
「x^3 + y^3 = (x + y)((x + y)^2 – 3xy)」の導出過程
まず、x^3 + y^3 の式を分解するためには、まず「x + y」の部分に着目します。
式を展開すると、次のように分解されます。
(x + y)((x + y)^2 – 3xy) = (x + y)(x^2 + 2xy + y^2 – 3xy) = x^3 + y^3
この展開が、x^3 + y^3 を因数分解した式に対応していることがわかります。
「(x + y)^3 – 3xy(x + y)」の覚えやすさについて
「(x + y)^3 – 3xy(x + y)」の式は少し複雑で、覚えにくいと感じるかもしれません。実際、この式がどのように展開されるのかを理解することが大切です。
この式は以下のように展開されます。
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
そして、3xy(x + y) = 3x^2y + 3xy^2 となり、最終的に式が簡単に表されることがわかります。
対照式を使った他の例と応用
「x^3 + y^3」の因数分解の理解を深めるために、対照式を使った他の例を見てみましょう。
例えば、次のような式も因数分解が可能です。
x^3 – y^3 = (x – y)((x – y)^2 + 3xy)
このように、x^3 + y^3 だけでなく、x^3 – y^3 の場合にも似たような方法で因数分解ができます。
覚えやすくするためのポイント
対照式や因数分解は、公式を覚えるだけでなく、その背後にある理由を理解することが非常に重要です。
例えば、「x^3 + y^3」の因数分解の公式を覚える際には、まず「(x + y)」が出てくることを理解し、その後の式の展開を意識することが覚えやすくするポイントです。
まとめ
x^3 + y^3 の因数分解には、「(x + y)((x + y)^2 – 3xy)」というシンプルで覚えやすい式があります。この式を理解することで、対照式や因数分解の他の問題にも対応できるようになります。もし「覚えづらい」と感じる場合は、式を展開してその意味を理解することが一番の近道です。
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