高校数学の問題で、z=1/2(-αt+1/αt)という式を使い、｜z+i｜ – ｜z-i｜ = i(α – β) / ｜α｜ を示す方法について解説します。βはαの共役複素数で、iは虚数単位です。この問題は複素数を含む計算問題であり、式の変形に必要な数学的ステップを理解することが大切です。
問題の整理
まず、与えられた式z=1/2(-αt+1/αt)からスタートします。この式を使って、｜z+i｜ – ｜z-i｜ の計算に進みます。さらに、式の中でαは0でない複素数、βはαの共役複素数という前提を忘れずに進めていきます。
｜z+i｜ – ｜z-i｜ の計算
z=1/2(-αt+1/αt)の式を元に、｜z+i｜と｜z-i｜をそれぞれ計算します。このとき、zにiを加えた場合、または引いた場合の絶対値を計算する必要があります。絶対値を計算するには、複素数の実部と虚部を分けて考えます。
計算を進めると、z+iやz-iのそれぞれの絶対値が求められ、最終的に｜z+i｜ – ｜z-i｜ の形が求まります。
i(α – β) / ｜α｜ への変形
次に、この式がi(α – β) / ｜α｜ に等しいことを示します。ここでは、αとβが共役複素数であることを利用します。共役複素数とは、α = a + bi としたとき、β = a – bi です。この性質を使って式を変形していきます。
計算を進めると、i(α – β) / ｜α｜の形にたどり着きます。｜α｜はαの絶対値であり、これは計算結果に重要な役割を果たします。
まとめ
この問題では、複素数の絶対値の計算と共役複素数の性質を利用することが求められました。最終的に、｜z+i｜ – ｜z-i｜ = i(α – β) / ｜α｜ を示すことができることが確認できました。複素数に関する計算において、実部と虚部を分けて考えることが重要です。
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