「1+2+3+…+(n-1)+1＝1/2n(n-1)+1」という数式の背後にある考え方について、わかりやすく解説します。質問者が理解に困っている「分母がnである最初の数」という式の意味を順を追って説明します。
1. 数列の和と公式の関係
まず、この式は連続した自然数の和に関するものです。1+2+3+…+n-1 という数列の和を求める方法には公式があります。この和は、一般的に「n項の和」と呼ばれ、次の式で求めることができます。
和 = (n-1) * n / 2 です。これは、1からn-1までの自然数の合計を求める公式です。
2. なぜ「1/2n(n-1)」になるのか？
質問文に登場する「1/2n(n-1)」の式ですが、これは「1からn-1までの和」を表すための公式です。計算する際に、n項の和の公式に従って、nとn-1を掛け算し、それを2で割ります。このとき、n項目まで含めて計算していくわけです。
このようにして、数列の和を公式で求めると、最初の数から順に足していく手間を省くことができるため便利です。
3. 式に関する理解のポイント
式「1+2+3+…+(n-1)+1＝1/2n(n-1)+1」において、右辺の「1/2n(n-1)+1」という形に移行するのは、公式の使い方を理解するためです。最初の数から最後までの加算をひとつの式にまとめる方法を理解すれば、難しくないということです。
「＋1」をつける部分もありますが、これは単純に数列の最初の項と最後の項を含めることで、全体の和を計算しているためです。
4. 公式を使うメリット
公式を使うことで、個別の数を足すよりも遥かに効率的に解が求められます。この式に含まれる「n」や「n-1」を使用することで、後は計算するだけで求めることができるため、数列の和をすばやく計算する方法が理解できるようになります。
5. まとめ
この問題を理解するためのポイントは、数列の和の公式を覚えることです。具体的には、「n項の和 = n(n-1)/2」といった公式を覚え、与えられた式に適用することで、答えを素早く求めることができます。式「1+2+3+…+(n-1)+1＝1/2n(n-1)+1」を理解すれば、数学の問題に取り組む際にとても役立つ考え方になります。
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