x^2 – 4y^2 = -1を極方程式で表す方法

数学

2025.08.11

「x^2 – 4y^2 = -1」を極方程式で表すという問題において、極座標変換に関する理解が求められます。この記事では、どのようにしてこの式を極座標系に変換するのか、そして代入の手順やその理由について解説します。

1. 極方程式とは？

極方程式とは、座標系として直交座標（x, y）ではなく、極座標（r, θ）を使用して表現される方程式です。極座標では、rは原点からの距離、θは原点からの角度を表します。直交座標から極座標に変換するためには、x = rcosθ、y = rsinθの関係を利用します。

与えられた式「x^2 – 4y^2 = -1」を極座標に変換するためには、まずxとyにそれぞれr*cosθとr*sinθを代入します。この手法で極方程式を得るためには、まず式に代入していきます。

具体的には、x^2 = (r * cosθ)^2 = r^2 * cos^2θ、y^2 = (r * sinθ)^2 = r^2 * sin^2θです。これを使って式を展開していきます。

あなたが提案された「x^2 + y^2 – 5y^2 = -1」という式の変換についてですが、これは不適切です。まず、x^2 + y^2にr^2を代入するというアプローチは間違いです。x^2とy^2をそれぞれr^2 * cos^2θおよびr^2 * sin^2θに置き換えることが正しい方法です。

さらに、yにrsinθを代入するだけでは、式全体の整合性が取れません。適切な極座標への変換を行うためには、xとyの両方にr * cosθとr * sinθを使用する必要があります。

正しい方法で「x^2 – 4y^2 = -1」を極方程式に変換すると、以下のように進めます。

1. x^2 = r^2 * cos^2θ, y^2 = r^2 * sin^2θ を使って式を展開します。

2. 変換後の式は「r^2 * cos^2θ – 4r^2 * sin^2θ = -1」となります。

3. これをさらに整理すると、「r^2 * (cos^2θ – 4sin^2θ) = -1」になります。

「x^2 – 4y^2 = -1」を極方程式に変換するには、xとyにそれぞれr * cosθとr * sinθを代入し、適切に式を展開することが重要です。あなたの提案通りの方法では不整合が生じてしまうため、正しい変換方法を理解して実践することが大切です。