中学2年生の数学では、多項式の次数や変数の関係を解く問題が出題されることがあります。今回は、与えられた条件に基づいて多項式の次数を求め、変数の組み合わせを見つける問題を解いていきます。問題文にある「多項式2x^a y + 5x^b」の次数が3であり、またa + b = 4の条件を使って解を求めていきます。
多項式の次数とは？
多項式の次数は、式の中で最も高い次数を持つ項の次数です。多項式の各項の次数は、変数に掛けられた指数の合計によって決まります。例えば、2x^a yという項の次数はa + 1です（xの次数aとyの次数1を足す）。同様に、5x^bの項の次数はbです。
問題では、この多項式全体の次数が3であることが条件です。この情報を使って、aとbの関係を導き出します。
次数の関係を使ってaとbを求める
問題文によると、式の次数は3です。よって、最も次数の高い項の次数が3である必要があります。
式は「2x^a y + 5x^b」なので、各項の次数は以下のようになります。
- 2x^a yの次数はa + 1
- 5x^bの次数はb
したがって、a + 1またはbが3になる必要があります。また、もう一つの条件として「a + b = 4」が与えられています。これらの条件を組み合わせて解くことができます。
解の導出
まず、「a + 1 = 3」の場合を考えます。このとき、a = 2です。次に、a + b = 4の条件に代入すると、2 + b = 4となり、b = 2になります。
次に、「b = 3」の場合を考えます。この場合、a + b = 4の条件からa = 1になります。
したがって、a = 2、b = 2またはa = 1、b = 3という2組の解が得られます。
結論
与えられた条件を使って、多項式の次数と変数の関係を解くことができました。a + b = 4であり、次数が3となるようなaとbの組み合わせは、a = 2, b = 2 または a = 1, b = 3の2組です。
このように、次数や式の変数の関係を正確に把握することは、数学的な問題を解く上で非常に重要です。覚えた解法を使って、類似の問題にも応用できるようにしましょう。
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