√(1 – x^2) の式をx = sin(t) で置換した場合、ルートを外すときに絶対値がかかる場合があります。特に、このような式でルートを外す際に、結果として cos(t) になることが一般的ですが、なぜ cos(t) になるのか、また -cos(t) にならないのかについて解説します。
1. 置換と三角関数の基本
まず、x = sin(t) という置換を使う理由について確認します。この置換は、三角関数の基本的な性質に基づいています。x = sin(t) と置換することで、式 1 – x^2 は cos^2(t) に変換され、√(1 – x^2) は √(cos^2(t)) になります。
2. √(cos^2(t)) の絶対値
√(cos^2(t)) は数学的には |cos(t)| となります。つまり、ルートを外すときに絶対値がかかるため、cos(t) そのものにはならず、|cos(t)| となるのです。この絶対値は、cos(t) の符号が変わる可能性を示しています。
3. cos(t) と -cos(t) の違い
cos(t) と -cos(t) の違いは、角度 t によって符号が変わる点です。sin(t) と同様に、cos(t) は t の値によって正または負になります。具体的には、t が 0 から 180 度の間では cos(t) は正、180 度から 360 度の間では負となります。
4. ルートを外すときの注意点
したがって、√(1 – x^2) のような式を置換した場合、結果的に cos(t) になることは確かですが、この cos(t) の符号に関してはtの範囲を考慮する必要があります。ルートを外す際に出てくる符号を正確に反映させるためには、数式を使用する際にその値が正か負かを意識することが大切です。
まとめ
√(1 – x^2) の置換で得られる cos(t) は、符号を考慮した絶対値の概念を含んでいます。したがって、-cos(t) になることはなく、常に |cos(t)| の形で表されます。tの範囲や角度を正確に把握することで、この式を適切に扱うことができます。
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