この問題では、2つの円が接する条件に基づいて、定数kの値を求める方法を解説します。円①と円②の方程式が与えられており、接する時の条件を元にkを求める方法を見ていきます。さらに、模範解答と比較し、減点される可能性がある点についても考察します。
円の方程式と接する条件の整理
問題では2つの円が与えられています。円①の方程式は次の通りです。
① x² + y² = 1
円②の方程式は次のように与えられています。
② x² + y² – 6x + 8y + k = 0
円①と円②が接するとき、接線の方程式が与えられており、その式は次のように示されます。
接線：6x – 8y – k – 1 = 0
これを使って、接点での条件を求めていきます。
接点での接線の計算方法
接点とは、円①と円②が接する点であり、その点において共通の接線を持つことを意味します。接線の方程式が与えられているので、まず接線と円①の中心(0, 0)との距離を求めます。
接線と円①の中心との距離は、接線の式の定数項と円①の中心との距離を比較することで求めることができます。接線の式6x – 8y – k – 1 = 0の形式から、中心(0, 0)との距離を求めると次のようになります。
距離 = |6(0) – 8(0) – (k + 1)| / √(6² + 8²)
これが1になるという条件を使います。したがって、次の式が得られます。
|-k – 1| / √(6² + 8²) = 1
これを解くと、|k + 1| = 10となります。
kの値の求め方
式|k + 1| = 10からkを求めると、次の2つの解が得られます。
- k + 1 = 10 → k = 9
- k + 1 = -10 → k = -11
したがって、kの値は9または-11であることがわかります。
模範解答との比較と減点されるポイント
問題の解答において、kの値が9または-11となることは正しいですが、解法の過程において減点される可能性がある点について考えます。特に、接線の導出の際に必要な前提条件をきちんと示すことが求められます。さらに、接線の方程式を使う過程が簡略化されている場合、解答が不十分と見なされることもあります。
模範解答では、接線の方程式を正確に導き、接点での距離を求める手順を丁寧に示すことが求められます。簡潔に解くことができても、過程を省略しすぎると、点数が減点される可能性があるので注意が必要です。
まとめ：円の接する条件の解法と注意点
この問題では、円①と円②が接する条件を元に、定数kの値を求める方法を解説しました。接線の方程式を用いた距離の計算を通じて、kの値は9または-11であることがわかりました。
解法の過程では、接線の方程式を適切に導出し、すべての前提条件を明確に示すことが重要です。模範解答では、手順をしっかりと示すことで、減点されることなく高得点を得ることができるでしょう。
コメント