数学の問題で、「1から30までの全ての奇数の積を、8で割った余りを求めなさい」という問題に出会ったことがあるかもしれません。問題を解く方法は工夫が必要で、その解法の中で、(1、3、5、7)の4つの数が繰り返し出てくる理由がよく分からないという方もいらっしゃるでしょう。この記事では、その理由について詳細に解説します。
問題の背景とアプローチ
この問題の目的は、1から30までの奇数の積を求め、その積を8で割った余りを算出することです。全ての奇数の積を計算するのは非常に大きな数になりますが、余りを求める場合は、計算を簡単にするための工夫が必要です。
奇数の積は、次のように計算されます。
1 × 3 × 5 × 7 × 9 × 11 × ... × 29
なぜ1, 3, 5, 7が繰り返すのか？
この問題では、8で割った余りを求めるため、各奇数が8で割ったときの余りに注目します。奇数はそれぞれ8で割ると、異なる余りを持ちますが、これらの余りのパターンが繰り返されることに気付きます。
具体的には、次のように計算されます。
- 1 ÷ 8 = 1 (余り1)
- 3 ÷ 8 = 3 (余り3)
- 5 ÷ 8 = 5 (余り5)
- 7 ÷ 8 = 7 (余り7)
- 9 ÷ 8 = 1 (余り1)
- 11 ÷ 8 = 3 (余り3)
…
したがって、奇数の余りは1, 3, 5, 7という4つの値を繰り返します。このサイクルにより、計算が簡単になります。
計算を簡単にする方法
余りのパターンが繰り返すことを利用して、計算を効率化できます。例えば、1, 3, 5, 7という余りを計算していくつかの周期に分け、その周期ごとに積を求めることが可能です。この方法で、余りを求めるための計算量を大幅に減らすことができます。
たとえば、最初の4つの余りを掛け合わせた後、その結果を8で割った余りを求め、次に次の4つの余りを同じように計算することで、最終的な余りを得ることができます。
余りの計算結果
1, 3, 5, 7の余りの積を計算すると、次のようになります。
- 1 × 3 = 3 (余り3)
- 3 × 5 = 15 (余り7)
- 7 × 7 = 49 (余り1)
このように、余りを順番に計算していくことで、最終的な積を求めることができます。このような工夫を使うことで、大きな数の計算を効率化できます。
まとめ
この問題では、1から30までの奇数の積を8で割った余りを求めるために、奇数の余りのパターンが1, 3, 5, 7という4つの値で繰り返されることを利用することが鍵です。このパターンを利用すれば、計算量を大幅に減らすことができ、効率的に余りを求めることができます。
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