S = {(x,y) ∈ R² | (x² − x)(y² − y) = 0} が開集合ではないことの証明

集合 S = {(x, y) ∈ R² | (x² − x)(y² − y) = 0} が開集合ではないことを証明する問題です。集合が開集合であるかどうかを示すためには、その集合が任意の点について開集合の定義を満たすかどうかを確認する必要があります。この記事では、この問題を解くために、集合の構造を詳しく調べ、開集合の条件を確認していきます。

開集合の定義

まず、開集合の定義を復習しましょう。R²の中で集合Sが開集合であるためには、集合Sの各点について、点を中心に小さな円盤がSの中に完全に含まれている必要があります。言い換えれば、集合Sの各点に対して、その点が属するような周りの小さな領域がSの中に存在しなければなりません。

集合Sの構造の解析

集合Sは次のように定義されています。

S = {(x, y) ∈ R² | (x² − x)(y² − y) = 0}

この式を展開すると、(x² − x)と(y² − y)のいずれか、または両方が0である点を含む集合です。これを分解して、以下のように考えることができます。

• (x² − x) = 0 となる点は x = 0 または x = 1 のとき。
• (y² − y) = 0 となる点は y = 0 または y = 1 のとき。

したがって、集合Sは次の点を含む集合であることがわかります。

• x = 0 または x = 1 かつ、y = 0 または y = 1。

Sが開集合でないことの証明

ここで、Sが開集合でないことを示すために、Sの点の周りに小さな円盤が完全に含まれない場合を考えます。

例えば、点 (0, 0) を考えます。この点を中心に小さな円盤を取ったとき、円盤の一部はx = 0またはy = 0に関して外に出るため、円盤の全体がSの中に含まれません。同様に、他の点でも円盤が完全にS内に含まれないことがわかります。

これにより、集合Sが開集合でないことが確定します。

まとめ

集合 S = {(x, y) ∈ R² | (x² − x)(y² − y) = 0} は開集合ではないことが証明されました。これは、S内の各点で小さな円盤を取っても、その円盤の全体がSに含まれないためです。開集合の定義を確認し、Sの点について円盤が含まれないことを示すことで、Sが開集合でないことが明らかになりました。