この問題は、放物線と円が接点を持つ条件を求める問題です。与えられた条件に従い、接点の座標を求めるためには、放物線の方程式と円の方程式を使って、接点が共通の接線を持つという条件を満たすようなrを求める必要があります。この記事では、数学的な手法を使って問題を解決する方法を説明します。
問題の整理と式の確認
まず、問題の式を確認しましょう。与えられた放物線Pと円Eは次のように定義されています。
- P: y = x² – 1（放物線）
- E: 2x² + (y – a)² = r²（円）
- D: y ≧ x² – 1（領域D）
円Eと放物線Pが接点を持つ条件は、接点で共通の接線を持つことです。これは、放物線と円の接点が1点であり、接線が一致することを意味します。
接点の条件を求める
接点の座標を求めるためには、放物線Pと円Eの交点を求める必要があります。まず、放物線Pの式y = x² – 1を円Eの方程式に代入します。これにより、yの値がxに依存する形になります。
円Eの方程式に代入して整理すると、次のような二次方程式が得られます。
2x² + ((x² – 1) – a)² = r²
この二次方程式を解くことで、xの値が求められます。次に、このxの値を使ってyの値を計算することで、接点の座標が求められます。
接点で共通の接線を持つ条件
接点で共通の接線を持つためには、円と放物線の接線の傾きが等しいことが必要です。これは、接線の傾きを求める微分を使って確認します。放物線Pの接線の傾きは、y = x² – 1の微分により求めることができます。
dy/dx = 2x
円Eの接線の傾きも同様に求めることができます。接点での接線の傾きが一致すれば、円と放物線は共通の接線を持つことになります。
rを動かすことによる接点の変化
rを動かすと、円の半径が変わり、放物線Pとの接点が変化します。rが適切な値に設定されると、円と放物線が1点で接するようになります。この値を求めるためには、先ほどの二次方程式を解き、接点の条件を満たすrの値を求める必要があります。
まとめ
この問題では、放物線と円が接点を持つための条件を求めました。接点が共通の接線を持つ条件を利用して、放物線と円の交点を求め、その座標を計算しました。最終的に、rの値を調整することで、円と放物線が接点を持つ条件が満たされることがわかります。このような問題では、微分や代数的手法を組み合わせて解法を進めることが重要です。
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