数3 極限問題の解法：Sn = Σ[k=1…n] 1/√k の挟みうちによる解法

数3の極限問題で、Sn = Σ[k=1…n] 1/√k という式に対して、lim[n→∞] Sn/√n を求める問題があります。この問題を解くには、積分を用いずに挟みうち法を使用して解法を導きます。この記事では、挟みうち法を使った解法の思考プロセスを解説し、どのように式を挟むのかを説明します。

1. 問題の理解

問題は次のように与えられています。

Sn = Σ[k=1…n] 1/√k

これに対して、lim[n→∞] Sn/√n を求めます。ここで、Σ[k=1…n] 1/√k は、1からnまでの各項の逆平方根の和です。

目的は、Snが√nで割ったとき、無限大の極限でどのような値に収束するかを求めることです。この問題を解くために、まずは挟みうち法を使って進めていきます。

挟みうち法では、式の上限と下限を求め、それらが同じ極限に収束することを示すことで、元の式の極限を求めます。まず、数列の一般項がどのような性質を持つかを調べ、上限と下限の関係を見つけます。

具体的には、1/√k という項を利用して、Snの各項をうまく比較する方法を考えます。

1/√k の和を直接求めるのは難しいため、近似的な式を使ってこれを評価します。1/√k の和は、kが大きくなるときに、kの近似的な積分値に近づくことが知られています。

Σ[k=1…n] 1/√k の近似として、次のような式が成り立ちます。

Σ[k=1…n] 1/√k ≈ 2√n

この式を使うことで、Sn/√n の極限を簡単に求めることができます。

次に、挟みうち法を使って、Snの上限と下限を求めます。上限と下限が同じ値に収束すれば、元の極限も求めることができます。

具体的には、Σ[k=1…n] 1/√k に対して、上記の近似式を用いると、次のように挟みうちができます。

2√n - 1 < Σ[k=1…n] 1/√k < 2√n

これにより、Sn/√n の極限が確定し、最終的に次のような結果になります。

lim[n→∞] Sn/√n = 2

挟みうち法を使用することで、極限問題を効率的に解くことができました。まず、Σ[k=1…n] 1/√k の近似式を使い、挟みうち法で上限と下限を求め、その収束する値を確認しました。

この手法を理解することで、同様の極限問題に対しても効果的に解法を適用できるようになります。数式の変形や近似をうまく活用することが、数学の問題解決において重要なスキルとなります。