abcd > a + b + c + d の証明とその解説

質問者が挙げた不等式「a≧2, b≧2, c≧2, d≧2 のとき abcd > a + b + c + d」が成り立つことを証明するために、少しずつ解説していきます。まず、どのようにしてこの不等式が成立するのか、数学的に証明を試みましょう。

1. どのように証明を始めるか？

まず、a, b, c, d がすべて 2 以上であることが与えられています。この条件下で、左辺の積 abcd が右辺の和 a + b + c + d より大きくなることを示さなければなりません。

まず、a = b = c = d = 2 の場合を考えてみます。この場合、左辺は abcd = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 で、右辺は a + b + c + d = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 です。これで、左辺の値が右辺の値よりも大きいことが確認できます。

2. 一般的な証明の流れ

a, b, c, d の値がすべて 2 以上である場合、左辺の積が右辺の和よりも大きくなることを示すために、次のように考えます。

まず、a, b, c, d をすべて 2 以上の値とすると、積 abcd はすべての値が 2 以上なので、右辺の和よりも常に大きくなる傾向があります。なぜなら、積は各要素を掛け合わせることによって増大する一方、和は単純に加算されるだけだからです。

3. 数式としての比較

ここで少し数学的な説明を加えます。

左辺の積 abcd と右辺の和 a + b + c + d を比較してみましょう。a = b = c = d ではなく、一般的に a, b, c, d のそれぞれが 2 以上であっても、積 abcd は加算 a + b + c + d よりも大きいことが示されます。この事実を理解するためには、次のように考えるとよいでしょう。

もし a, b, c, d がすべて同じ値であれば、積と和はどちらも単純に 2 以上の値で構成されます。しかし、一般的に不等式の左辺は掛け算で拡大するため、積の方が常に和よりも大きくなります。

4. まとめと証明の結論

この証明からわかるように、a, b, c, d がすべて 2 以上であれば、積 abcd は和 a + b + c + d より大きくなるということが成り立ちます。最初に示した例では、a = b = c = d = 2 の場合にこの不等式が成立することが確認できました。

まとめると、a, b, c, d がすべて 2 以上の整数の場合、積は和を上回るという証明が成り立ちます。これにより、質問者の求める不等式が成立する理由が明確になりました。