曲線 y = f(x) = x³ – x² の各点における曲率半径 R(x) の求め方と最大・最小値の調べ方

この問題では、与えられた曲線 y = f(x) = x³ – x² の各点における曲率半径 R(x) を求め、その最大値と最小値を調べる方法について解説します。曲率半径は、曲線の曲がり具合を定量的に示す重要な概念であり、これを求めるために必要な計算方法を詳しく説明します。

曲率半径 R(x) の定義と計算式

曲率半径 R(x) は、曲線上の各点における曲率 κ(x) の逆数として定義されます。具体的には、曲率 κ(x) は次の式で求められます。

κ(x) = |f”(x)| / (1 + (f'(x))²)^(3/2)

ここで、f'(x) は曲線の1階導関数、f”(x) は2階導関数です。曲率半径 R(x) はその逆数であるため、次の式になります。

R(x) = 1 / κ(x) = (1 + (f'(x))²)^(3/2) / |f”(x)|

関数 f(x) = x³ – x² の導関数

まず、与えられた関数 f(x) = x³ – x² の1階および2階の導関数を計算します。

f'(x) = 3x² – 2x

f”(x) = 6x – 2

曲率半径 R(x) の計算

次に、求めた導関数を使用して曲率半径 R(x) を計算します。

R(x) = (1 + (3x² – 2x)²)^(3/2) / |6x – 2|

これにより、曲線上の任意の点での曲率半径を求めることができます。

曲率半径 R(x) の最大値・最小値を求める

曲率半径 R(x) の最大値と最小値を調べるには、R(x) の導関数を求め、極値を探す必要があります。R(x) の導関数を求めるために、まず R(x) を式に従って整理します。その後、R'(x) = 0 を解くことで、R(x) の極値を求めることができます。

具体的な計算方法やその結果は、実際の計算を通じて確認できますが、極値を求めることによって R(x) の最大値および最小値を導き出すことが可能です。

まとめ

今回の問題では、関数 f(x) = x³ – x² の各点における曲率半径 R(x) を求め、その最大値と最小値を調べる方法について解説しました。曲率半径の計算には、曲率の定義を使用し、導関数を求めることで解を得ることができます。この方法をマスターすることで、他の類似の問題にも対応できるようになります。