共通テスト数学1A 例題66の解説：飛距離と得点の統計的関係

共通テスト数学1Aの例題66では、スキージャンプの得点計算に関連する統計的な問題が出題されています。飛距離Dから得点Xが算出され、さらに空中姿勢による得点Yが加算される仕組みです。この問題では、XとYの間の関係を統計的に理解することが求められています。

問題の概要と解説

問題の内容は、飛距離Dから得点Xが計算され、次に空中姿勢によって得点Yが決まるというものです。飛距離Dに対する得点Xは次の式で求められます。

X = 1.80 × (D – 125.0) + 60.0

ここで、Dは飛距離、Xは得点です。この問題では、XとYの相関関係や分散、共分散の計算が求められています。

まず、得点Xの分散を求めるためには、飛距離Dの分散との関係を理解する必要があります。分散は、データの散らばり具合を示す指標であり、式における係数がその影響を決定します。

得点Xは、飛距離Dを1.80倍して、60.0を加える計算式です。この場合、Xの分散は、Dの分散の1.80の二乗倍、すなわち1.80² = 3.24倍になります。したがって、Xの分散はDの分散の3.24倍であることがわかります。

次に、得点Xと空中姿勢による得点Yの共分散について考えます。共分散は、二つの変数がどれだけ一緒に変動するかを示す指標です。

問題では、XとYの共分散は、DとYの共分散の（ア）倍であるとされています。得点Xは飛距離Dに依存しており、Yは飛距離とは直接的に関係しないため、XとYの共分散はDとYの共分散の係数倍となります。

共分散の倍率（ア）は、Xの式における係数の影響を考慮し、1.80倍になります。これは、Xの変動がDに依存しているため、XとYの共分散もDとYの共分散に1.80倍されることを示しています。

相関係数は、二つの変数がどれだけ線形関係にあるかを示す指標で、1に近いほど強い正の相関、-1に近いほど強い負の相関があります。

問題では、XとYの相関係数は、DとYの相関係数の（ウ）倍であるとされています。相関係数は、共分散をそれぞれの標準偏差で割ることで求められますが、XとYの相関係数は、Xの変動がDに基づいているため、DとYの相関係数に1.80倍されることがわかります。

したがって、相関係数の倍率（ウ）は1.80となります。これにより、XとYの相関係数がDとYの相関係数にどのように依存しているかが理解できます。

共通テスト数学1A 例題66では、飛距離Dから得点Xを算出する式を用いて、XとYの分散、共分散、相関係数について計算しました。具体的には、Xの分散はDの分散の3.24倍、XとYの共分散はDとYの共分散の1.80倍、XとYの相関係数はDとYの相関係数の1.80倍であることがわかりました。

これらの計算を通じて、数学的な関係を理解し、物理的な現象に基づいた統計的なアプローチを学ぶことができます。テストの問題解決に向けて、これらの計算方法をしっかりと押さえておくことが重要です。