ベクトルの平行性を証明する問題は、線形代数やベクトルの基本的な性質を理解するうえで重要です。特に、2つのベクトルが平行であることを示すためには、ベクトル間の関係式を使って計算を進める必要があります。この記事では、ベクトルが平行であることを示す方法を順を追って説明します。
ベクトルの平行性の定義
2つのベクトルa→とb→が平行であるとは、b→がa→のスカラー倍で表せるときに言います。つまり、ある実数kが存在して、b→ = k * a→と表せる場合、a→とb→は平行であると言います。
この定義に基づき、問題を解くためにベクトルの成分を使った計算が行われます。
証明の方法
問題の式「a→ // b→ ↔︎ a1b2 – a2b1 = 0」に注目します。この式は、a→とb→が平行であることを示すために利用されます。
まず、a→とb→が平行である場合、b→はa→のスカラー倍であるため、b1 = ka1、b2 = ka2という関係式が成り立ちます。この場合、式「a1b2 – a2b1」を計算すると、次のようになります。
a1b2 – a2b1 = a1(ka2) – a2(ka1) = 0
したがって、a→とb→が平行であるならば、この式が成り立つことが分かります。
逆の証明
逆に、式「a1b2 – a2b1 = 0」が成り立つ場合に、a→とb→が平行であることを示す必要があります。
まず、a1b2 – a2b1 = 0という式から、a1とa2の少なくとも一方は0でないことが分かります。そのため、a1 ≠ 0と仮定し、次にb2 = (b1/a1) * a2と表現できます。
この関係を利用して、b1 = ka1、b2 = ka2と表せる実数kが存在することが分かり、したがって、b→ = k * a→となり、a→とb→は平行であると結論できます。
まとめ：ベクトルの平行性の証明
ベクトルa→とb→が平行であるかどうかを判定するためには、a1b2 – a2b1 = 0という式を使うことができます。逆に、この式が成り立つときには、a→とb→が平行であることが分かります。ベクトルの平行性に関する理解を深めるためには、このような計算を通じて基本的な法則を身につけることが重要です。
問題の証明を通じて、ベクトルの成分とその関係を利用した計算方法を理解し、ベクトルの平行性に関する問題を解く力を養いましょう。
コメント