置換 σ に関する問題の解法：R(n) の求め方

本記事では、1 ≦ a ≦ n かつ 1 ≦ b ≦ n の範囲で与えられる a, b に対して、{1, 2, …, n} の置換 σ が σ(a) = b ⇔ σ(b) = a となる場合の総数 R(n) を求める方法を解説します。数学的な考察を通して、問題の解き方を段階的に説明していきます。

問題の整理

置換 σ が σ(a) = b ⇔ σ(b) = a となる条件の下で、与えられた範囲 1 ≦ a ≦ n と 1 ≦ b ≦ n の場合に、R(n) を求めることが求められています。この問題では、置換における対称性に注目する必要があります。

問題の本質は、a と b が相互に入れ替わる置換の数を求めることです。このような置換の数を求めるためには、まず基本的な置換の性質を理解することが重要です。

置換 σ は、1 から n までの数を一意に並べ替えるものです。σ(a) = b ⇔ σ(b) = a となる場合、a と b が入れ替わることになります。このため、a と b が対応する位置で相互に変換する場合の数を求める必要があります。

このような置換を考える際、a と b のペアを選ぶ方法からスタートします。a と b は n 個の数から選ばれる2つの異なる数です。よって、a と b を選ぶ方法は n 個の数から2つを選ぶ組み合わせであることがわかります。

問題の本質は、a と b を交換する置換がどれだけ存在するかを求めることです。a と b が交換される場合、その他の部分については自由に置換を行うことができるため、残りの n – 2 個の数に対しては任意の置換を施すことができます。

したがって、R(n) は以下のように求めることができます。

R(n) = C(n, 2) × (n-2)!

ここで、C(n, 2) は n 個の数から 2 つの数を選ぶ組み合わせの数であり、(n-2)! は残りの (n-2) 個の数に対する任意の置換の数です。

最終的に、R(n) は次のように計算されます。

R(n) = (n(n-1))/2 × (n-2)! = n! / 2

したがって、R(n) の値は n! / 2 であることがわかります。この結果は、与えられた条件を満たす置換の総数を示しています。

この問題では、置換の対称性に注目し、a と b が入れ替わる場合の置換の数を求めました。最終的に、R(n) の値は n! / 2 であることが導かれました。置換の性質と組み合わせの計算を理解することが、この問題を解く鍵となります。