大学数学の積分問題「∫(x² + x – 3)/(x² – 2x + 2)dx」の解法を解説します。この積分を解くためには、分数式を分解し、適切な手法を使うことが重要です。この記事では、詳しいステップと解法を紹介します。
積分の問題の整理
与えられた積分式は、次のようになっています。
∫(x² + x – 3)/(x² – 2x + 2)dx
まず、分子と分母の式を整理し、積分のアプローチを考えます。分母の式「x² – 2x + 2」は平方完成して、解きやすい形にできます。
分母の平方完成
分母「x² – 2x + 2」を平方完成します。平方完成の手順は次のように進めます。
x² – 2x + 2 = (x – 1)² + 1
これにより、分母は「(x – 1)² + 1」という形になり、積分を解く準備が整います。
積分の変数変換
次に、変数変換を行います。u = x – 1 とおくと、du = dx となり、積分式は次のように変形できます。
∫(x² + x – 3)/(x² – 2x + 2)dx = ∫(u² + 3u – 2)/((u² + 1))du
分子を分解する
次に、分子「u² + 3u – 2」を部分分数分解します。部分分数分解を行うことで、積分しやすい形に分けます。
u² + 3u – 2 = (u + 1)(u + 2)
これにより、積分式は次のように分解できます。
∫(u + 1)(u + 2)/(u² + 1)du
積分の計算
最終的な積分式を計算するために、部分分数分解を使って積分を行います。分解後の式に適用して、解を求めます。
このようにして、積分を実行し、最終的な解を得ることができます。
まとめ
この積分問題は、平方完成、変数変換、部分分数分解を適切に使うことで解くことができます。数学的な手法を理解し、実際に積分を解いてみることで、計算力を高めることができます。
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