高校数学の問題で、「2025以下の自然数のうち5または7で割り切れる数の個数を求めよ」というものがあります。この問題を解くには、集合の概念を使い、重複を避けながら計算を進める方法が効果的です。今回はその解法を詳しく解説します。
問題の整理とアプローチ
問題文から、2025以下の自然数のうち、5または7で割り切れる数の個数を求める問題であることがわかります。まずは、5で割り切れる数、7で割り切れる数、それら両方で割り切れる数をそれぞれ計算し、最終的な答えを求めます。
5で割り切れる数の個数
まず、5で割り切れる数の個数を求めます。5で割り切れる数は、5, 10, 15, …, 2025以下の最大の5の倍数を求めます。計算式は次の通りです。
最大の5の倍数 = 2025 ÷ 5 = 405
したがって、5で割り切れる数は405個あります。
7で割り切れる数の個数
次に、7で割り切れる数の個数を求めます。7で割り切れる数は、7, 14, 21, …, 2025以下の最大の7の倍数を求めます。
最大の7の倍数 = 2025 ÷ 7 = 289
したがって、7で割り切れる数は289個あります。
5と7両方で割り切れる数の個数
次に、5と7両方で割り切れる数、つまり35の倍数を求めます。35で割り切れる数は、35, 70, 105, …, 2025以下の最大の35の倍数を求めます。
最大の35の倍数 = 2025 ÷ 35 = 57
したがって、5と7両方で割り切れる数は57個あります。
重複を取り除くための最終計算
最後に、重複を避けるため、5または7で割り切れる数の個数を求めます。まず、5で割り切れる数と7で割り切れる数を合わせ、次に5と7両方で割り切れる数を引きます。
5または7で割り切れる数 = (5で割り切れる数) + (7で割り切れる数) – (5と7両方で割り切れる数)
これを計算すると、
5または7で割り切れる数 = 405 + 289 – 57 = 637
まとめ
2025以下の自然数のうち、5または7で割り切れる数の個数は637個です。この問題は、集合の考え方を使い、重複を取り除きながら計算を進めることで解決できます。問題を解くときは、同じ数が2回カウントされないように注意することが大切です。
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