高次方程式「x⁴ + x² + 4 = 0」の解法について解説します。この方程式は、直接的に因数分解できないため、代数的な方法を使って解を求めます。本記事では、この高次方程式を解くためのステップを詳細に説明します。
高次方程式の形を整理する
まず、与えられた方程式は次のようになっています。
x⁴ + x² + 4 = 0
ここで注意すべき点は、x⁴とx²が含まれていることです。これを、変数を新しいものに置き換えることで解決できます。例えば、x²を新しい変数に置き換えて計算を簡単にしましょう。
新しい変数の導入
「x²」を新しい変数yに置き換えます。すなわち、次のように置き換えます。
y = x²
これにより、元の方程式は次のように変形されます。
y² + y + 4 = 0
二次方程式として解く
y² + y + 4 = 0は二次方程式であり、これを解くために判別式を使います。判別式Dは、次の式で計算できます。
D = b² – 4ac
ここで、a = 1, b = 1, c = 4なので、判別式Dは次のように計算されます。
D = 1² – 4(1)(4) = 1 – 16 = -15
判別式Dが負であるため、この二次方程式には実数解は存在しません。したがって、y = x²の方程式にも実数解は存在しません。
複素数解を求める
判別式Dが負の場合、方程式は複素数解を持つことになります。y² + y + 4 = 0の解を求めるために、解の公式を使用します。
y = (-b ± √D) / 2a
ここで、b = 1, D = -15, a = 1を代入して計算すると、次のように解が得られます。
y = (-1 ± √(-15)) / 2 = (-1 ± i√15) / 2
したがって、yの解は次のようになります。
y = (-1 + i√15) / 2 または y = (-1 – i√15) / 2
元の変数xの解を求める
次に、y = x²なので、x² = (-1 ± i√15) / 2という式を得ました。この式を解くと、xの値は次のように求められます。
x = ±√((-1 + i√15) / 2) または x = ±√((-1 – i√15) / 2)
まとめ
この高次方程式x⁴ + x² + 4 = 0は実数解を持たず、複素数解を持ちます。代数的に新しい変数を導入し、二次方程式として解くことで複素数解が得られました。複素数解を求める際には、判別式が負であることを確認し、解の公式を使って計算を進めることが重要です。
コメント