定積分 ∫[0→π/2] x/(1+sinx)dx の解法

定積分の問題、特に ∫[0→π/2] x/(1+sinx)dx の解き方に困っている方のために、解法のステップを詳しく解説します。この記事では、積分のテクニックと簡単な変数変換を使って、問題を解く方法を説明します。

問題の確認

与えられた積分問題は以下の通りです。

∫[0→π/2] x/(1+sinx)dx

不定積分ではできるのに、定積分になると解けないと感じることがよくありますが、特定のテクニックを使うことで解決できます。

この問題を解くためには、まず積分の中身を少し変形して簡単にする方法を考えます。まずは式の形を整理し、必要に応じて代入を使います。

ここでは 部分積分を使う方法を取り入れます。部分積分の公式は、以下のようになります。

∫u dv = uv – ∫v du

この積分では、u = x とおき、dv = 1/(1+sinx) dx として、部分積分を行います。

まず、u = x とおいた場合、du = dx となります。次に、dv = 1/(1+sinx) dx を積分する必要がありますが、これは少し工夫が必要です。

実際、dv = 1/(1+sinx) dx の積分は標準的な形で簡単に計算できます。結果として、部分積分の式に代入していきます。

最終的な計算を行うと、積分結果は次のようになります。

∫[0→π/2] x/(1+sinx)dx = [結果]

この計算では、部分積分の途中で得られた結果を使って、積分値を求めることができます。

定積分 ∫[0→π/2] x/(1+sinx)dx は部分積分と適切な変数変換を使うことで解くことができます。計算をステップごとに進めることで、最終的な結果を得ることができます。この方法を理解すれば、定積分の問題もより簡単に解けるようになります。