数学の極限問題：lim [x -> ∞] n乗根√(a^n + b^n) の解き方

この問題は、極限を扱う基本的な問題です。与えられた式 lim [x -> ∞] n乗根√(a^n + b^n) を解くためには、数式をうまく整理し、極限の性質を利用することが重要です。この記事では、問題を解くためのステップをわかりやすく解説します。

問題の整理と解法のアプローチ

問題の式は、n乗根の形になっているので、まずはこの形を簡単にするためのアプローチを考えます。式は次のようになります。

lim [x -> ∞] √(a^n + b^n) のn乗

ここで、aとbは定数で、0 < a < bが与えられています。nが無限大に近づくとき、どのような変化が起こるかを考えます。

まず、a^n と b^n の中で、nが無限大に近づくときに大きい方の項が支配的になることに注目します。b^nはa^nよりも大きくなるので、式は次のように近似できます。

lim [x -> ∞] n乗根√(b^n) と近似できる

これを計算することで、n乗根の式が簡単に扱えるようになります。

次に、b^n のn乗根を計算します。n乗根√(b^n)は、bに等しくなります。つまり、式は次のように変わります。

lim [x -> ∞] b = b

したがって、与えられた式の極限はbになります。

この問題では、nが無限大に近づくときに、a^nとb^nのどちらが支配的になるかを理解することが重要でした。b^nが支配的であるため、n乗根の式を簡単に近似でき、最終的にbが答えになります。

極限を求める際には、大きい項が支配するという特性をうまく活用し、問題を簡単に解くことができます。理解を深めるためには、このような問題を繰り返し練習することが大切です。