ベクトルが張る平行四辺形の面積の求め方 – |ad-bc| の説明

ベクトルの面積を求める問題は、線形代数やベクトル解析でよく出題されます。特に、ベクトルが張る平行四辺形の面積を求める公式は、|ad – bc|という形で表されます。この記事では、なぜこの公式が成り立つのかを分かりやすく解説します。

平行四辺形の面積の定義

平行四辺形の面積は、平行四辺形の底辺と高さの積として求めることができます。ここで、底辺は任意の一辺の長さを取り、高さはその底辺に対して垂直な長さを意味します。

今回は、ベクトル（a, c）と（b, d）が張る平行四辺形の面積を求めます。この場合、ベクトル（a, c）と（b, d）によって形成される平行四辺形の面積を計算する方法を見ていきましょう。

平行四辺形の面積は、ベクトルの外積の大きさで求めることができます。2つのベクトル（a, c）と（b, d）の外積は、次の式で表されます。

ベクトル（a, c）と（b, d）の外積 = |a・d – b・c|

この外積の大きさが、平行四辺形の面積に相当します。この公式を使うことで、面積を簡単に求めることができるのです。

実際に、ベクトル（a, c） = (2, 3) およびベクトル（b, d） = (4, 5) の場合を考えてみましょう。

まず、外積の式に代入します。

|ad – bc| = |(2・5) – (4・3)| = |10 – 12| = |-2| = 2

したがって、ベクトル（2, 3）と（4, 5）が張る平行四辺形の面積は、2となります。このように、外積を使うことで、簡単に面積を計算できます。

なぜこの公式が成立するのか、直感的に理解するためには、ベクトルの外積がどのような性質を持っているかを考えると良いでしょう。外積の大きさは、ベクトルが形成する平行四辺形の面積を表しており、これが面積の計算に直結します。

また、外積の符号に関しても、面積の計算において重要です。符号を取ることで、方向を無視した面積の大きさだけを得ることができるため、公式の絶対値を取ることが大切です。

ベクトル（a, c）と（b, d）が張る平行四辺形の面積は、|ad – bc|という外積の大きさで求めることができます。この公式を使うことで、ベクトルが張る平行四辺形の面積を簡単に計算することができます。ベクトルの外積を理解することで、平行四辺形の面積に関する問題を効率的に解決できます。