一次方程式の不等式の解法: 場合分けの理由と具体的な解法のステップ

この問題では、一次方程式の不等式を解く際に、なぜaa²の3つのケースに分けて考える必要があるのかを理解することが重要です。まずは問題を整理し、どのように場合分けするかについて説明します。

問題の整理: 不等式の立式

問題は次の不等式です。

x² - (a² + a)x + a³ ≤ 0

これを因数分解すると、(x - a)(x - a²) ≤ 0という形になります。この段階で、xの範囲を求めるためにはaの値によって場合分けをする必要があります。

なぜaa²の3つのケースに分けるのかというと、aの値によって不等式の解の範囲が変わるからです。具体的に、aの値によってxの解がどのように変化するのかを確認していきましょう。

a 0となり、a(a-1) > 0が成り立ちます。ここでaの値はa < 0または1 < aの範囲に絞られ、解はxの範囲がになります。

a = a²のとき、a² – a = 0が成立し、a(a-1) = 0です。このとき、aは0または1となり、解はそれぞれx = 0またはx = 1となります。

a > a²のとき、a² – a < 0となり、a(a-1) < 0が成り立ちます。この範囲では0 < a < 1となり、解はa² ≤ x ≤ aとなります。

これらをまとめると、aの値によって解の範囲が以下のように変わります。

このように、aの値によって解の範囲が変わるため、場合分けを行うことが重要です。