三次関数における重解とx軸との接触についての証明

三次関数などで因数分解したとき、重解がある場合にその解がx軸に接することは必ず成り立つのかという問題について考えていきます。これを証明するためには、まず関数の性質を理解し、重解がある場合の挙動について詳しく探る必要があります。

1. 三次関数の基本的な形

三次関数は一般的にf(x) = ax^3 + bx^2 + cx + dの形で表されます。ここで、a, b, c, dは定数です。三次関数には最大で3つの解（x軸との交点）が存在しますが、そのうちの1つまたは2つの解が重解となることがあります。

重解とは、方程式の解が1回以上繰り返されることを意味します。例えば、f(x) = (x – r)^2(x – s)のような関数では、x = rが重解であり、グラフはx軸に接しつつそのまま離れていきます。このような場合、x = rでf(x) = 0となり、x軸に接することが確認できます。

重解がx軸に接することを証明するためには、まず三次関数を因数分解し、重解がx軸との接触点であることを示す必要があります。f(x) = a(x – r)^2(x – s)といった形に因数分解した場合、x = rでグラフが接することがわかります。また、微分を用いて接線がx軸に平行であることも示せます。

三次関数以上の多項式でも、同様の理由で重解がx軸に接することは成り立ちます。重解が存在する場合、関数のグラフはその解で接線を持つため、x軸との接触点が必ず存在します。多項式の次数が上がっても、重解の扱い方は変わらないため、x軸に接するという現象は維持されます。

三次関数やそれ以上の多項式における重解は、必ずx軸に接するという性質が成り立ちます。この性質は、関数を因数分解し、微分などの手法を使うことで解析的に証明できます。重解の理解は、関数の挙動やグラフの形状を理解する上で非常に重要な要素です。