数学の数列問題: (n+k)²の総和の求め方

数学の数列に関する問題では、与えられた式の総和を求めることがよくあります。今回は、数列の式 (n+k)² の総和を求める方法について解説します。

1. 問題文の整理

質問の内容は、kが1からnまで変化する際の、(n+k)²の総和を求めるというものです。具体的には、式の中にある「n+k」を平方したものの総和を求める必要があります。

式は次のようになります。

Σ (n+k)², k=1からnまで。

まずは、式 (n+k)² を展開しましょう。展開すると。

(n+k)² = n² + 2nk + k²

これにより、総和は次の3つの項の総和に分けられます。

Σ n² + Σ 2nk + Σ k²

各項を個別に計算していきましょう。

n²はkの変化に関係なく常に同じ値なので、n²がn回加算されることになります。したがって、この項はn×n² = n³となります。

2nkの項では、kが1からnまで変化しますので、これを総和で計算すると、2n×(1+2+3+…+n)になります。この部分は等差数列の和を使うことで簡単に計算できます。等差数列の和は、(n×(n+1))/2 ですので、総和は 2n×(n×(n+1))/2 = n²(n+1) となります。

k²の総和は、1からnまでの平方数の総和です。平方数の総和の公式は、n(n+1)(2n+1)/6 です。

以上の各項を組み合わせると、最終的な総和は以下のようになります。

総和 = n³ + n²(n+1) + n(n+1)(2n+1)/6

この式を使うことで、与えられたnに対する総和を計算することができます。

今回の問題では、式 (n+k)² の総和を求めるために、展開した後の各項を個別に計算しました。公式に従って各項を求めることで、正確な総和を得ることができました。数学の数列問題では、まず式を展開し、各項を分けて計算することが重要です。