中学受験算数問題：三角形の面積比と内心に関する問題解説

この問題では、三角形の面積比に関する問題を解きます。具体的には、三角形ABCの内心をIとして、直線AIと辺BCの交点をDとし、与えられた条件をもとに三角形の面積比を求めます。

問題の理解

三角形ABCにおいて、AB=8、BC=5、CA=4の長さがあります。内心Iを求め、その後、直線AIと辺BCの交点Dを見つけます。問題は、三角形ABCの面積比と、内心を含む三角形の面積比を求めることです。

まず、三角形の面積を求める方法ですが、三角形の面積は、底辺×高さ÷2で求めることができます。ここでは、底辺と高さに関連する値を使って計算します。

△ABCの面積は底辺BC（長さ5cm）と高さ（直線AIの長さ）を使って計算できます。△IAB、△IBC、△ICAも同様に計算することが可能です。

問題(12)では、△ABCと△IBCの面積比を求める必要があります。内心Iを通る直線AIが三角形ABCを分割します。このとき、△ABCと△IBCの面積比は直線AIと辺BCの交点により分割される部分の関係に基づきます。

計算すると、この面積比は17:5になります。これが問題(12)の答えです。

問題(13)では、△IAB、△IBC、△ICAの面積比を求める必要があります。これらの三角形は、三角形ABCを内心Iによって分割した部分です。面積比を求めるためには、三角形ABCの面積を基準に、各三角形の面積を計算します。

計算を進めると、面積比は8:5:4となります。これが問題(13)の答えです。

この問題では、三角形ABCとその内心に関する面積比を求めました。問題(12)では△ABCと△IBCの面積比、問題(13)では△IAB、△IBC、△ICAの面積比を計算し、それぞれ17:5と8:5:4の答えを得ました。これらの計算は、三角形の面積を求める基本的な方法に基づいています。